\documentclass[12pt, a4paper]{article}
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\newcommand{\bvec}[1]{\ensuremath{\mathbf{#1}}}
\newcommand{\matrx}[1]
{
	\ensuremath
	{
		\left (
		\begin{matrix}
			#1
		\end{matrix}
		\right)
	}
}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }

\begin{document}
	\footnote{本文是Griffiths《量子力学导论》的学习笔记。}
	由于本人水平有限，本笔记可能存在错误。
	
	\section{交换力}
	我们已经知道，包含两个粒子的一维系统的波函数可以写为：
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			\text{非全同粒子：} ~ \Psi(x_1, x_2) &= \psi_1(x_1) \psi_2(x_2) \\
			\text{全同玻色子：} ~ \Psi(x_1, x_2) &= \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi_1(x_1) \psi_2(x_2) + \psi_1(x_2) \psi_2(x_1)) \\
			\text{全同费米子：} ~ \Psi(x_1, x_2) &= \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi_1(x_1) \psi_2(x_2) - \psi_1(x_2) \psi_2(x_1)) \\
		\end{aligned}
	\end{equation}
	我们假定$\psi_1, \psi_2$是正交归一的，即
	\begin{equation}
		\braket{\psi_1}{\psi_2} = \int \psi_1^*(x) \psi_2(x) \dd x = \delta_{ij}
	\end{equation}
	现在，我们要求这样一个系统中，这两个粒子的“平均”距离。平均距离的期望是
	\begin{equation}
		\langle \abs{x_2-x_1}^2 \rangle 
		= 
		\langle x_1^2 \rangle
		+ \langle  x_2^2 \rangle 
		- \langle 2 x_1 x_2 \rangle
	\end{equation}
	因此只需计算
	\begin{equation}
		\langle \abs{x_2-x_1}^2  \rangle
		= \bra{\Psi}  \abs{x_2-x_1}^2  \ket{\Psi} 
		= \bra{\Psi} x_1^2  \ket{\Psi} + \bra{\Psi} x_2^2  \ket{\Psi} + \bra{\Psi} 2 x_1 x_2  \ket{\Psi}
	\end{equation}
	虽然这个计算并不困难，但相当繁琐。以下我们分类讨论三种情况。
	
	\textbf{非全同粒子}：
	\begin{itemize}
		\item 
		$
		\bra{\Psi} x_1^2  \ket{\Psi}
		= \int \int \psi^*_1(x_1) \psi^*_2(x_2) x_1^2 \psi_1(x_1) \psi_2(x_2)  \dd x_1 \dd x_2
		= (\int \psi^*_2(x_2) \psi_2(x_2) \dd x_2) (\int  \psi^*_1(x_1) x_1^2  \psi_1(x_1) \dd x_1)
		= \int \psi^*_1(x_1) x_1^2  \psi_1(x_1) \dd x_1
		=  \langle x^2 \rangle_1 
		$
		
		其中 $\int \psi^*_2(x_2) \psi_2(x_2) \dd x_2 = 1$是由于归一化；
		简记 $\int \psi^*_1(x_1) x_1^2  \psi_1(x_1) \dd x_1$为$ \langle x^2 \rangle_1 $。
		下标$1$代表这是关于态1 $\psi_1$的量。由于$x_1$在积分中是哑标已经被积分掉了，因此无需体现。
		\item 
		$
		\bra{\Psi} x_2^2  \ket{\Psi}
		= \int  \psi^*_2(x_2) x_2^2  \psi_1(x_2) \dd x_2
		=  \langle x^2 \rangle_2
		$
		\item 
		$
		\bra{\Psi} 2x_1x_2  \ket{\Psi} 
		= \int \int \psi^*_1(x_1) \psi^*_2(x_2) 2 x_1 x_2   \psi^*_1(x_1) \psi_1(x_2) \dd x_2
		= 2  (\int \psi^*_1(x_1) x_1 \psi_1(x_1)\dd x_1)(\int \psi^*_2(x_2) x_2 \psi_1(x_2)\dd x_2)
		= 2 \langle x \rangle_1 \langle x \rangle_2
		$
		\item 因此，$\langle \abs{x_2-x_1}^2 \rangle  = \langle x^2 \rangle_1  + \langle x^2 \rangle_2 - 2 \langle x \rangle_1 \langle x \rangle_2$
	\end{itemize}

	\textbf{玻色子}：
	\begin{itemize}
		\item 
		$
		\begin{aligned}
			\bra{\Psi} x_1^2  \ket{\Psi}
			& = \frac{1}{2} \bra{\psi_1(x_1) \psi_2(x_2) + \psi_1(x_2) \psi_2(x_1)} x_1^2  \ket{\psi_1(x_1) \psi_2(x_2) + \psi_1(x_2) \psi_2(x_1)}\\
			& 
			= \frac{1}{2}
			 (
			\bra{\psi_1(x_1) \psi_2(x_2)} x_1^2 \ket{\psi_1(x_1) \psi_2(x_2)} \\ 
			& + \bra{\psi_1(x_1) \psi_2(x_2)} x_1^2 \ket{\psi_1(x_2) \psi_2(x_1) } \\
			& + \bra{\psi_1(x_2) \psi_2(x_1)} x_1^2 \ket{\psi_1(x_1) \psi_2(x_2) } \\
			& + \bra{\psi_1(x_2) \psi_2(x_1)} x_1^2 \ket{\psi_1(x_2) \psi_2(x_1) } \\
			)
		\end{aligned}
		$ 
		
		注意，由于玻色子系统的$\Psi$包括$2$项，因此交叉相乘应当是$2\times2=4$项
		\begin{itemize}
			\item 其中展开后第$1$项：
			$
			\bra{\psi_1(x_1) \psi_2(x_2)} x_1^2 \ket{\psi_1(x_1) \psi_2(x_2)} 
			= \int \int \psi^*_1(x_1) \psi^*_2(x_2) x_1^2 \psi_1(x_1) \psi_2(x_2) \dd x_1 \dd x_2
			= (\int\psi^*_2(x_2) \psi_2(x_2) \dd x_2)(\int\psi^*_1(x_1)x_1^2 \psi_1(x_1) \dd x_1)
			= \langle x^2 \rangle_1
			$
			
			\item 第$2$项：
			$
			\bra{\psi_1(x_1) \psi_2(x_2)} x_1^2 \ket{\psi_1(x_2) \psi_2(x_1)} 
			= (\int\psi^*_1(x_1)  x_1^2 \psi_2(x_1) \dd x_1)(\int\psi^*_2(x_2) \psi_1(x_2) \dd x_2)
			=0
			$
			由于其中$\psi_1, \psi_2$正交，因此此项为0
			
			\item 第$3$项也是如此 $\bra{\psi_1(x_2) \psi_2(x_1)} x_1^2 \ket{\psi_1(x_1) \psi_2(x_2) }  = 0$。
			
			\item 第$4$项：
			$
			\bra{\psi_1(x_2) \psi_2(x_1)} x_1^2 \ket{\psi_1(x_2) \psi_2(x_1) } 
			= (\int\psi^*_2(x_1) \psi_2(x_1) \dd x_1)(\int\psi^*_1(x_2) x_2^2  \psi_1(x_2) \dd x_2)
			= (\int\psi^*_1(x_2) x_2^2 \psi_1(x_2) \dd x_2)
			= \langle x^2 \rangle_2
			$
			虽然最后一步好像是对$x_2$积分，
			但是$x_2$是哑标，实则不影响
			（你可以想象多写一步、把$x_2$都改名为$x_1$）
			\item 综上所述，$\bra{\Psi} x_1^2  \ket{\Psi} =  \frac{1}{2} (\langle x^2 \rangle_1 + \langle x^2 \rangle_2)$
		\end{itemize}
		
		\item 
		$\bra{\Psi} x_2^2  \ket{\Psi} =  \frac{1}{2} (\langle x^2 \rangle_1 + \langle x^2 \rangle_2)$	同理可证明。
		
		\item 
		$
		\begin{aligned}
			\bra{\Psi} 2 x_1 x_2  \ket{\Psi}
			& = \bra{\psi_1(x_1) \psi_2(x_2) + \psi_1(x_2) \psi_2(x_1)} x_1 x_2  \ket{\psi_1(x_1) \psi_2(x_2) + \psi_1(x_2) \psi_2(x_1)}\\
			& =
			\bra{\psi_1(x_1) \psi_2(x_2)}  x_1 x_2 \ket{\psi_1(x_1) \psi_2(x_2)} \\ 
			& + \bra{\psi_1(x_1) \psi_2(x_2)}  x_1 x_2  \ket{\psi_1(x_2) \psi_2(x_1) } \\
			& + \bra{\psi_1(x_2) \psi_2(x_1)} x_1 x_2  \ket{\psi_1(x_1) \psi_2(x_2) } \\
			& + \bra{\psi_1(x_2) \psi_2(x_1)}  x_1 x_2  \ket{\psi_1(x_2) \psi_2(x_1) } \\
		\end{aligned}
		$ 
		\begin{itemize}
			\item 第$1$项
			$
			\bra{\psi_1(x_1) \psi_2(x_2)}  x_1 x_2 \ket{\psi_1(x_1) \psi_2(x_2)} 
			= (\int\psi^*_1(x_1)x_1 \psi_1(x_1) \dd x_1)(\int\psi^*_2(x_2) x_2 \psi_2(x_2) \dd x_2)
			= \langle x \rangle_1 \langle x \rangle_2
			$
			\item 第$2$项
			$
			\bra{\psi_1(x_1) \psi_2(x_2)}  x_1 x_2  \ket{\psi_1(x_2) \psi_2(x_1) } 
			= (\int\psi^*_1(x_1) x_1 \psi_2(x_1) \dd x_1)(\int\psi^*_2(x_2) x_2 \psi_1(x_2) \dd x_2)
			= \langle x \rangle_{12} \langle x \rangle_{12}
			= \abs{\langle x \rangle_{12}}^2
			$
			简记 $\int\psi^*_1(x_1) x_1 \psi_2(x_1) \dd x_1$ 为$\langle x \rangle_{12} $。显然，$\langle x \rangle_{12} =\langle x \rangle_{21} $。
			\item 第$3$项也是如此：
			$
			\bra{\psi_1(x_2) \psi_2(x_1)} x_1 x_2  \ket{\psi_1(x_1) \psi_2(x_2) } = \abs{\langle x \rangle_{12}}^2
			$
			\item 第$4$项 
			$
			\bra{\psi_1(x_2) \psi_2(x_1)}  x_1 x_2  \ket{\psi_1(x_2) \psi_2(x_1) }
			= \langle x \rangle_1 \langle x \rangle_2
			$
			\item 综上所述，
			$
			\bra{\Psi} 2 x_1 x_2  \ket{\Psi}
			= 2 (\langle x \rangle_1 \langle x \rangle_2 + \abs{\langle x \rangle_{12}}^2)
			$
		\end{itemize}
		\item 因此，
		$\langle \abs{x_2-x_1}^2 \rangle  = \langle x^2 \rangle_1  + \langle x^2 \rangle_2 - 2\langle x \rangle_1 \langle x \rangle_2 - 2 \abs{\langle x \rangle_{12}}^2$
	\end{itemize}

	\textbf{费米子}	
	
	推理过程类似玻色子，只是调整一下$\bra{\Psi} 2 x_1 x_2  \ket{\Psi}$中的符号。
	直接给出结果：
	$\langle \abs{x_2-x_1}^2 \rangle  = \langle x^2 \rangle_1  + \langle x^2 \rangle_2 - 2\langle x \rangle_1 \langle x \rangle_2 + 2 \abs{\langle x \rangle_{12}}^2$
		
	\textbf{总结}
	\begin{equation}
		\langle \abs{x_2-x_1}^2 \rangle = 
		\left \{
		\begin{aligned}
			& \langle x^2 \rangle_1  + \langle x^2 \rangle_2 - 2 \langle x \rangle_1 \langle x \rangle_2 &\qquad \text{非全同粒子}\\
			& \langle x^2 \rangle_1  + \langle x^2 \rangle_2 - 2\langle x \rangle_1 \langle x \rangle_2 - 2 \abs{\langle x \rangle_{12}}^2 &\qquad \text{全同玻色子}\\
			& \langle x^2 \rangle_1  + \langle x^2 \rangle_2 - 2\langle x \rangle_1 \langle x \rangle_2 + 2 \abs{\langle x \rangle_{12}}^2 &\qquad \text{全同费米子}\\
		\end{aligned}
		\right.
	\end{equation}
	我们非常神奇地发现，即使假定了粒子之间没有相互作用，
	玻色子的平均距离仍更近、似乎更倾向聚集；
	费米子的平均距离更近、似乎更倾向分散。
	可见，量子效应导致了“没有相互作用的相互作用”，这称为“交换力”。
	
	\newpage
	\section{交换力的统计诠释}
	以下以一个简单的例子从统计力学角度说明为何存在交换力。
	
	我们假定空间中有$5$个盒子与$2$个粒子，且粒子间无相互作用。
	
	现在，我们先数粒子有多少种进入盒子的方法。
	\begin{itemize}
		\item 非全同粒子：我们有序地选取两个盒子分别放置粒子（例如$(1,2), (2,1), (1,3), (3,1), ...$，数字代表盒子的编号），这里有$A_5^2 = 20$种方法，再加上粒子处于同一盒子的$5$种方法，一共是$25$种方法。
		\item 全同玻色子：我们无序地选取两个盒子分别放置粒子（例如$(1,2), (1,3), ...$），这里有$C_5^2 = 10$种方法，再加上粒子处于同一盒子的$5$种方法，一共是$15$种方法。
		\item 全同玻色子：我们无序地选取两个盒子分别放置粒子，这里有$C_5^2 = 10$种方法。当然，费米子不能处于同一盒子之中，因此一共是$10$种方法
	\end{itemize}
	然后，我们假定如果粒子处于同一盒子，或者相邻盒子中，那么我们认为他们是“靠近的”。
	\begin{itemize}
		\item 非全同粒子：粒子处于相邻盒子有$2\times4=8$种情况（例如$(1,2),(2,1), (2,3), (3,2), ...$），以及处于同一盒子的$5$种情况，一共是$13$种情况。
		\item 全同玻色子：粒子处于相邻盒子有$4$种情况（例如$(1,2), (2,3), ...$），以及处于同一盒子的$5$种情况，一共是$9$种情况。
		\item 全同费米子：粒子处于相邻盒子有$4$种情况，一共是$4$种情况。
	\end{itemize}
	我们将其列表，并统计比例：
		\begin{table}[h]
		\centering
		\caption{小结} % 设置表格标题
		\label{tab:summary} % 设置标签，用于交叉引用
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
			\hline
			粒子类型 & 总数 & “靠近”情况的个数 & “靠近”的占比\\
			\hline
			非全同粒子 & $25$ & $13$ & $52 \%$\\
			\hline
			全同玻色子 & $15$ & $9$ & $60 \%$\\
			\hline
			全同费米子 & $10$ & $4$ & $40 \%$\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{table}

	我们像统计力学中做的一样，引入等概率假设，即假定系统处于任一情况的可能性是相同的。
	那么，两个粒子“靠近”概率，相当于“靠近”情况占情况总数的比例。
	可见，在这个简单的例子中，我们也得到了相似的结果：玻色子倾向于相互靠近，而费米子倾向于相互远离。
	某种意义上，交换力是一种统计现象。
\end{document}
